ریاضیدانان بی نهایت معادله رامانوجان را پیدا می کنند

ریاضی دان افسانه ای سرینیواسا رامانوجان و ییفنگ هوانگ، دانشجوی فوق دکتری در دانشگاه اموری، یک چیز مشترک دارند: آنها نادیده گرفته نخواهند شد. در سال 1912، رامانوجان، یک کارمند 24 ساله در آن زمان بندر مدرس در هند، شروع به ارسال صفحات فرمول های جدید و اثبات نشده برای ریاضیدانان سراسر انگلستان کرد. یکی از نامه‌های او سرانجام به جی‌اچ هاردی، ریاضی‌دان بریتانیایی از دانشگاه کمبریج رسید، که رامانوجان را به‌عنوان یک بیننده شناخت، او را به دیدار دعوت کرد و به راه‌اندازی حرفه‌ی پیشگامانه‌اش کمک کرد.

بیش از یک قرن بعد، هوانگ در حالی که دانشجوی دانشگاه میشیگان بود، شروع به ایمیل زدن به ریاضیدانان نامه به نامه کرد – در مجموع بیش از 40 نفر. او به سختی پاسخ داد.

ایده های هوانگ به دو فرمول اشاره دارد که در نامه های رامانوجان ظاهر می شود و اکنون به عنوان هویت راجرز-رامانوجان شناخته می شود. در سپتامبر 2026، هوانگ و چندین همکارش اثباتی را بارگذاری کردند که معادلات تاریخی یک مورد واحد از یک نظریه هندسی بسیار بزرگتر را نشان می دهد. به ویژه، این کار نشان داد که هویت های راجر-رامانوجان با یک گره سه ضلعی در یک فضای مشخص مطابقت دارد. شبدر که به شکل گره سلتیک شناخته می شود، یکی از ساده ترین گره های ریاضی است. و گره های متصل، آنها کشف کردند، تعداد بی نهایتی از هویت های ناشناخته قبلی را آشکار می کنند.

حمایت از روزنامه نگاری علمی

اگر این مقاله را دوست دارید، لطفاً از روزنامه نگاری برنده جوایز ما حمایت کنید مشترک شوید. با خرید اشتراک، به اطمینان از آینده داستان‌های تاثیرگذار درباره اکتشافات و ایده‌هایی که دنیای امروز ما را شکل می‌دهند کمک می‌کنید.

جورج اندروز، ریاضیدان دانشگاه ایالتی پنسیلوانیا و کارشناس ریاضیات رامانوجان می‌گوید: «همه چیز در مورد این، حتی کشف اولیه، شگفت‌انگیز است». رامانوجان، هاردی و همکارانشان “همه نتوانستند این را ثابت کنند.” بنابراین چیزهایی که از نظریه گره بیرون آمدند برای من کاملاً غافلگیرکننده بودند.

هویت های راجر-رامانوجان

هاردی مسئول شکل دادن به بسیاری از نظریه اعداد در اوایل قرن بیستم بود. هاردی که در ابتدا با دریافت نامه ای از رامانوجان شک داشت، بعدها نوشت که نویسنده نامه را به عنوان “ریاضی دانی با بالاترین کیفیت، مردی با اصالت و قدرت کاملاً خارق العاده” می شناسد. این یک لحظه کلیدی بود.

دو فرمول رامانوجان حیرت‌انگیز بود: آنها مجموعه‌ای بی‌نهایت از مجموع را از یک سو و یک سری نامتناهی از محصولات را از سوی دیگر نشان می‌دهند، بدون اینکه دلیل آشکاری برای توافق این دو وجود داشته باشد. در سال 1916، پرسی مک ماهون، ریاضیدان بریتانیایی راهی برای خواندن آنها پیدا کرد. این دو معادله مشابه معادلاتی بودند که دو قرن قبل توسط ریاضیدان لئونارد اویلر مورد مطالعه قرار گرفتند. اویلر یک ترفند هوشمندانه برای جلوگیری از چنین پیچیدگی داشت: او معادلات را به یک نوع مسئله شمارش موسوم به «تقسیم» مرتبط کرد. تقسیم یک عدد روشی برای نوشتن آن به صورت جمع است. مک ماهون فرمول های رامانوجان را به دو نوع پارتیشن تبدیل می کند که هیچ شباهتی به هم ندارند، اما تعداد آنها همیشه یکسان است.

در اینجا یک طرف معادله رامانوجان شکسته می‌شود: تعداد راه‌هایی را برای جمع کردن یک مقدار معین با استفاده از اعدادی که حداقل دو عدد صحیح از هم فاصله دارند، بشمارید. به عنوان مثال، 6 را می توان به صورت 1 + 5، 2 + 4 و 6 نوشت. بنابراین سه پارتیشن وجود دارد.

از طرف دیگر، فقط با استفاده از اعدادی که به 1، 4، 6 یا 9 ختم می شوند، جمع کنید. برای 6، پاسخ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1، 1 + 1 + 4 و 6 است که سه تقسیم را نیز به دست می دهد.

فرمول ها می گویند که این دو مقدار بسیار متفاوت برای هر عددی مطابقت دارند. قبل از اینکه رامانوجان بتواند آنها را ثابت کند، به دلیل مبهم لئونارد جیمز راجرز ریاضیدان انگلیسی در یک مجله ریاضی قدیمی برخورد کرد. بنابراین معادلات به هویت راجرز-رامانوجان معروف شدند.

اندروز می‌گوید: «در بیشتر قرن بیستم، این جواهر به عنوان یک جواهر منزوی در نظر گرفته می‌شد. هیچ کس گمان نمی کرد که این اساس یک نظریه بسیار بزرگتر است.

در اوایل دهه 1970، اندروز یک خانواده بی پایان از هویت ها را فاش کرد. من آنها را فقط برای یادگیری این موضوع کشف کردم [mathematician] اندروز می‌گوید: «بازیل گوردون ابتدا آنها را انجام داده بود، که برای من ناامیدکننده بزرگی بود.»

خانواده جدید به هویت اندروز-گوردون معروف شدند.

از آن زمان، هویت‌ها در مکان‌های عجیبی ظاهر شده‌اند: در نظریه بازنمایی، در مطالعه توابع متقارن، حتی در فیزیک از طریق «مدل شش ضلعی جامد»، که توضیح می‌دهد چگونه اتم‌های گاز می‌توانند خود را بر روی یک سطح در یک الگوی مثلثی قرار دهند.

چه کسی فکر می‌کرد که هویت راجرز-رامانوجان به نحوه رفتار هلیوم مایع در هنگام ریختن روی صفحه گرافیتی مرتبط باشد؟ اندروز می گوید.

خرج کردن برای ساخت یک حدس

یفنگ هوانگ پیش‌بینی داشت.

ماتریس ها – صفحات گسترده کوچک اعداد – را می توان تحت عملیاتی مانند وارونگی و جابجایی قرار داد که برای به دست آوردن نتیجه صحیح باید به ترتیب خاصی انجام شود. اما اگر مقادیر ماتریس‌ها طوری انتخاب شوند که ترتیب عملیات‌ها اهمیتی نداشته باشد (به این معنی که آن‌ها “دقیق می‌کنند”)، ماتریس‌ها مانند مختصات رفتار می‌کنند و می‌توان از آنها برای توصیف منحنی‌ها استفاده کرد. هر منحنی صاف مانند سهمی را بگیرید آقای = x²، و جایگزین کنید آقای و x با جفت ماتریس یک مسئله در سطح کتاب درسی ممکن است بپرسد: چند جفت ماتریس معادله را درست می کند؟ یک دانش آموز ریاضی می تواند پاسخ را پیدا کند.

اما چه اتفاقی می‌افتد اگر از یک منحنی استفاده کنید که چندان هموار نیست – منحنی که دارای یک “پیچ” است که به عنوان تکینگی نیز شناخته می‌شود؟ اکنون نظریه کتاب درسی در حال فروپاشی است. این ماتریس ها هرگز مورد مطالعه قرار نگرفته اند.

در حالی که هنوز دکترا بود. دانشجوی دانشگاه میشیگان، هوانگ شروع به شمارش ماتریس‌هایی از منحنی‌های فشرده کرد آقای² = x³، که زمانی به اوج تند می رسد x و آقای مساوی 0. دیری نپایید که شمارش او فرمولی آشنا را بازتولید کرد: یک طرف هویت های راجرز-رامانوجان. هوانگ می‌گوید: «از قبل این کشف شگفت‌انگیز است. “من تعجب می کنم که چه اتفاقی می افتد. این نمی تواند تصادفی باشد.”

از همین مثال، هوانگ یک حدس جسورانه و مبهم انجام داد: اگر هر منحنی پینچ هویت جدیدی را پنهان کند، تعداد ماتریس آن به یک فرمول منظم تبدیل شود، چه؟ هوانگ به امید بحث بیشتر در مورد این ایده، نامه هایی به گروه کوچکی از ریاضیدانان – حدود پنج تا ده نفر – نوشت.

ریاضیدان کن اوهنو از دانشگاه ویرجینیا یکی از این نامه ها را دریافت کرد. اما با تصور اینکه ایده هوانگ “دیوانه” است، اوهنو آن را رد کرد.

یکی دیگر از دریافت کنندگان این نامه، الکسی اوبلومکوف، ریاضیدان دانشگاه ماساچوست آمهرست بود که کارش پل ارتباطی هندسه جبری و نظریه گره است. اوبلومکوف می‌گوید: «فکر می‌کردم ایده خوبی بود و بعداً در یکی از کنفرانس‌ها همدیگر را دیدیم و من این ایده را بیشتر دوست داشتم».

در آن زمان، هوانگ و روفان جیانگ، که اکنون یک ریاضیدان در دانشگاه کالیفرنیا، برکلی است، روشی سیستماتیک برای شمارش تعداد ماتریس هایی که فرمول های منحنی پینچ را درست می کنند، ابداع کرده بودند.

اوبلومکوف هندسه را روی میز آورد. خرج کردن را افزایش دهید آقای² = x³، او توصیه کرد و آن را با یک کره کوچک در چهار بعد احاطه کنید، جایی که ریاضیدانان می گویند چنین منحنی هایی به طور طبیعی وجود دارد. منحنی کره را در امتداد یک حلقه بسته در یک گره “ترفویل” سوراخ می کند. هر دو نقطه به هویت های کلاسیک راجرز-رامانوجان منتهی می شود. منحنی دیگر چطور؟ این همچنین منجر به گره دیگری شد که خانواده دیگری از هویت ها را پنهان کرد. و منحنی دیگر منجر به حتی بیشتر شد.

ایده های تیم در فرضیه هوانگ-جیانگ-ابلومکوف (HJO) متبلور شد. به عبارت ساده، هر دو عدد را انتخاب کنید الف و ب که بزرگتر از 1 هستند، بدون فاکتور مشترک. این فرضیه برای منحنی پیش بینی می کند x^الف = آقای^ب، تعداد راه‌حل‌های ماتریسی همیشه به هویتی از نوع راجرز-رامانوجان تبدیل می‌شود. این بی‌نهایت خانواده‌های بسیاری از هویت‌ها می‌شود، یکی برای هر مقدار الف. مورد الف = 2 خانواده ای است که اندروز و گوردون پیدا کردند. هر ارزش بیشتر از الف کشف نشده بود و هر منحنی گره مخصوص به خود را دارد: سه لایه برای الف = 2 و ب = 3 یا بیشتر گره توریک زخم برای بقیه.

شواهد

دوباره، هوانگ شروع به ارسال ایمیل کرد – بیش از 40 ایمیل در سال 2023 – و یک سری صحبت های سمینار ارائه داد.

او می‌گوید این بار، زمانی که اوهنو یکی از نامه‌های هوانگ را دریافت کرد، این ایده را «ذهن‌انگیز» یافت. آن زمان بود که به این تعقیب و گریز پیوستم.

در آن زمان، اوهنو به عنوان ریاضیدان موسس شرکت هوش مصنوعی Axiom Math پیوسته بود. او، هوانگ و یکی دیگر از ریاضیدانان Axiom به نام کنی لاو، هفت ماه را به صورت پشت سر هم با AxiomProver، سیستم هوش مصنوعی متمرکز بر ریاضی شرکت، گذراندند.

اوهنو می‌گوید از آنجایی که ایده‌ها بسیار جدید بودند، نمی‌توانستند فقط از یک مدل هوش مصنوعی بخواهند تا مشکل را حل کند – هیچ ادبیاتی برای یادگیری وجود نداشت. در عوض، AxiomProver به عنوان یک دستیار تحقیقاتی کار کرد و فضای بسیار بزرگتری از ایده ها را نسبت به انسان ها آزمایش کرد. او همچنین این اثبات را به Lean ترجمه کرد، یک زبان ماشین پسند برای بررسی خودکار اثبات. در نهایت، چهارگانه انسان-هوش مصنوعی ایده هایی از پنج حوزه مختلف ریاضیات را برای اثبات حدس ترکیب کرد.

برداشت اونو از هوش مصنوعی در ریاضیات امیدوارکننده‌تر از بسیاری از افراد در رشته او است. او می گوید: «همه در مورد پایان ریاضی صحبت می کنند. “اما کسی مجبور شد آن ساختار را ارائه دهد. این کاری است که ما باید انجام دهیم.”

اعضای تیم فرضیه HJO خود را در سرور preprint arXiv.org در آگوست 2026 منتشر کردند. و در سپتامبر، این سه نفر با اثبات فرضیه پیگیری کردند.

هویت‌های قدیمی که به صورت هندسه بازنگری می‌شوند، اکنون به قلمروی ناشناخته اشاره می‌کنند و سؤالاتی را ایجاد می‌کنند که ریاضی‌دانان مشتاق کشف آن هستند.

اوبلومکوف می‌گوید: «ما چیز هیجان‌انگیزی پیدا کردیم، راهی برای گسترش هندسه به حالتی که در آن یک سه‌فویل نیست، بلکه یک اتصال به اصطلاح Hopf است – شما در واقع دو دایره به هم متصل شده‌اید. بنابراین این مقاله بعدی خواهد بود.»

اوبلومکوف همچنین می گوید که پیتر شولزه برنده مدال فیلدز چندین مقاله منتشر کرده است که برخی از ایده های هوانگ را حتی فراتر می برد. منحنی های فشرده شده x^الف = آقای^ب تازه شروع هستند هوانگ می‌گوید، معادله «فقط اولین مثال از تکینگی است که من می‌نویسم». اوبلومکوف موافق است: “این فقط اولین مورد است و موارد دیگر نیز وجود خواهد داشت.”