غیر عملی ترین ماشین حساب دنیا فقط دو دکمه دارد

این مقاله از اثبات مثبت، خبرنامه دوستانه ما که به بررسی شادی ها و ویژگی های ریاضی می پردازد. امروز ثبت نام کنید برای یک مقاله ریاضی هفتگی و پازل در صندوق پستی خود.

در گذشته محاسبه مقادیر پیچیده مانند لگاریتم یک عدد به زمان و حوصله زیاد و همچنین مواد مرجع مناسب نیاز داشت. این کار اگرچه گاهی خسته کننده بود، اما منجر به کشفیات غیرمنتظره ای شد. به عنوان مثال، هنگام ورق زدن جداول لگاریتم، ستاره شناس سیمون نیوکمب متوجه شد که صفحات مقادیری که با عدد 1 شروع می شوند به طور قابل توجهی بیشتر از بقیه فرسوده شده اند. این مشاهدات در نهایت منجر به به اصطلاح قانون بنفورد شد که نحوه تخصیص اعداد تصادفی خاص را توصیف می کند.

حمایت از روزنامه نگاری علمی

اگر این مقاله را دوست دارید، لطفاً از روزنامه نگاری برنده جوایز ما حمایت کنید اشتراک با خرید اشتراک، به اطمینان از آینده داستان‌های تاثیرگذار درباره اکتشافات و ایده‌هایی که دنیای امروز ما را شکل می‌دهند کمک می‌کنید.

اگر ماشین حساب در آن زمان وجود داشت، قانون بنفورد ممکن بود هرگز کشف نمی شد. با این حال، من شخصاً سپاسگزارم که مجبور نبودم با جداول لگاریتمی یا مجموعه‌ای از فرمول‌ها در طول سال‌های تحصیلم، دانشگاه یا محل کارم کشتی بگیرم. در واقع، من نمی خواهم بدون ماشین حساب علمی خود باشم. نه تنها مقادیر مهمی مانند پی یا عدد اویلر برنامه ریزی شده دارد، بلکه می تواند عملیات پیچیده تری مانند ریشه مکعب یا لگاریتم یک عدد را تنها با یک کلیک یک دکمه محاسبه کند.

همانطور که فیزیکدان Andrzej Odrzywołek از دانشگاه Jagiellonian در لهستان در پیش چاپ مارس 2026 توضیح می دهد، با این حال، ماشین حساب ها را می توان بسیار ساده تر طراحی کرد: فقط دو دکمه برای انجام محاسبات و عملکردهای اساسی یک ماشین حساب علمی کافی است. خواه مماس، جذر، پی، یا توان، همه این توابع را می توان تنها با استفاده از عدد 1 و عملگر eml(x،آقای) = انقضا(x) – ln(آقایاز آن زمان، کار او توسط یک به اصطلاح اثبات کننده بررسی می شود، یک برنامه کامپیوتری که نتیجه گیری های منطقی را مرحله به مرحله طی می کند و بررسی می کند که همه چیز درست است.

از 36 تا 2

بسته به مدل، ماشین حساب می تواند وظایفی با پیچیدگی های متفاوت انجام دهد. Some models handle only the four basic arithmetic operations: addition, subtraction, multiplication, and division. Others are capable of evaluating trigonometric functions, extracting roots, and calculating logarithms. I had access to such a calculator during my school years, for example. اما من مجاز به استفاده از ماشین‌حساب‌های نموداری بودم که می‌توانستند به طور مستقل معادلات را حل کنند و توابع را به صورت هندسی نشان دهند.

Odrzywołek در کار خود به 36 کمیت و عملیات موجود در ماشین حساب های مکتب علمی متعارف – از جمله توابع مثلثاتی، توان و غیره اشاره می کند. “ریاضیات عالی نشان می دهد که بسیاری از این [functions] زائد هستند: به عنوان مثال، مثلثاتی به نمایی مختلط کاهش می یابد. این کاهش تا کجا می تواند پیش برود؟» در روزنامه اش می پرسد.

The physicist suspects that one function and one number might be enough to construct all 36 functions and quantities. مانوئل کائورز، ریاضیدان از دانشگاه یوهانس کپلر لینز در اتریش، که در کار کنونی دخالتی نداشت، می‌گوید: «این قابل قبول به نظر می‌رسد. “کلاس توابع ابتدایی به ویژه غنی نیست.”

This assumption is also supported from a technical point of view. در سال 1913، ریاضیدان هنری شفر ثابت کرد که محاسبات دیجیتالی را می توان با استفاده از یک عملگر منطقی، “دروازه NAND” انجام داد. This discovery made it possible to perform extremely complex computer calculations using a single type of transistor.

یک ویژگی متعالی

Odrzywołek برای یافتن تابع واحد مورد نیاز برای ماشین حساب خود ابتدا به مجموعه دستورالعمل برنامه کامپیوتری جبری پرکاربرد Wolfram Mathematica روی آورد. This instruction set uses only seven functions to derive the elementary operations. این “به عنوان یک مرجع برای یک بهینه سازی شده از قبل عمل کرد [system] … تقریباً 40 سال کاملاً آزمایش شده است.

برای کاهش بیشتر این مجموعه دستورالعمل ها، فیزیکدان یک برنامه کامپیوتری طراحی کرد تا به او در جستجوی سیستماتیک کمک کند. به عنوان یک کاندید برای عملیات جهانی، این برنامه به طور سیستماتیک تمام احتمالات را برای بیان 36 تابع ابتدایی، اعداد و ثابت های مهم بررسی کرد. پس از آزمایش‌های فراوان، او به این نتیجه رسید که 1 در ترکیب با eml(x، آقای) – “eml” یک تابع لگاریتمی منهای نمایی است – می تواند مبنای بازیابی توابع ابتدایی باشد.

به عنوان مثال، برای تولید عدد اویلر ه، فقط باید eml(1,1) را محاسبه کرد زیرا exp(1) – ln(1) = هاما برای انجام تفریق یا محاسبه توابع مثلثاتی، عملگر eml باید مکرراً تو در تو باشد – به عبارت دیگر، این eml باید به طور مکرر در یک عملیات گنجانده شود. برای مثال، برای تابع سینوس، باید بیش از 10 بار پشت سر هم تودرتو شود، که کار دست و پا گیر تری است.

و مشکلات دیگر به سرعت بوجود می آیند. حتی با ریاضیات دنیای واقعی، ممکن است مجبور شوید با اعداد مختلط که شامل جذر مقادیر منفی هستند، سر و کار داشته باشید. اما لگاریتم یک عدد مختلط به طور یکتا تعریف نشده است، بنابراین شما باید یک “شاخه” یا یک بخش خاص را انتخاب کنید که در آن لگاریتم مقدار مشخصی را می گیرد. به همین دلیل است که Odrzywołek می نویسد، هنگام اعمال ساختار eml باید دقت زیادی کرد تا به نتایج مناسب برسید.

علاوه بر این، eml و 1 تنها ترکیبی از تابع و عدد نیستند که می‌توان عملیات ابتدایی را از آنها استخراج کرد. همانطور که فیزیکدان کشف کرد، یک ماشین حساب علمی کاملاً کاربردی را می توان با استفاده از لگاریتم تقسیم نمایی edl(x،آقای) و ه.ممکن است راه حل های دیگری وجود داشته باشد.

EML و یادگیری ماشینی

اگرچه من نتیجه Odrzywołek را از نظر نظری بسیار جالب می‌دانم، به نظر می‌رسد که کاربردهای عملی کمی دارد. برای مثال، ماشین حسابی با تنها دو دکمه، بسیار جمع و جور است، اما به سختی قابل استفاده است. برای تولید عدد 0، باید محاسبات زیر را انجام دهید: eml(1, eml(eml(1, 1), 1)) = eml(1, eml(ه, 1)) = eml(1, ه^ه) = ه – ه × ln(ه) = 0. بنابراین، وارد کردن حتی ساده ترین اعداد به زمان و حوصله زیاد (و همچنین مقداری توانایی حسابی) نیاز دارد.

Odrzywołek همچنین کاربرد دیگری در زمینه شبکه های عصبی ارائه کرد. این الگوریتم‌های هوش مصنوعی مبتنی بر توابع ابتدایی هستند که می‌توانند با ساختار eml نمایش داده شوند. این می تواند مزایایی را ارائه دهد: به جای حفظ چندین واحد عملکردی مختلف و جداول جستجو برای عملیات های محاسباتی معمولی شبکه های عصبی مانند ReLU، tanh، GELU یا سینوس، می توان از سلول های eml یکسان مشابه دروازه های NAND تراشه های کامپیوتری استفاده کرد.

Eimen Ipek، محقق دانشگاه فناوری گراتس در اتریش، این را در یک پیش چاپ منتشر شده در سرور arXiv.org در آوریل 2026 آزمایش کرد. Ipek بخشی از یک شبکه عصبی مورد استفاده برای محاسبه درایوهای خودروهای الکتریکی را با ساختار eml جایگزین کرد. او دریافت که اگرچه معماری کد ممکن است ساده تر به نظر برسد، اما به عملیات محاسباتی بسیار بیشتری نیاز دارد. ReLU، tanh و توابع مشابه تنها یک عملیات را نشان می دهند، اما اجرای یک تابع eml به 111 عملیات نیاز دارد. بنابراین زمان زیادی طول خواهد کشید تا از رایانه eml در عمل استفاده شود – اگر هرگز باشد.

این مقاله در ابتدا در Spektrum der Wissenschaft و با اجازه تکثیر شد. از نسخه اصلی آلمانی با استفاده از هوش مصنوعی ترجمه شده و توسط ویراستاران ما بررسی شده است.